TEOREMA DE DIVERGENCIA
DEFINICIÓN:
Este teorema busca el flujo que hay en un campo vectorial con una superficie cerrada que es borde de un solido tridimensional con la integral de su divergencia en el interior de dicho solido, siendo esta la tapa de un cilindro donde su calculo común es una doble integral. El teorema informa que es más sencillo calcular este flujo por medio de una integral triple que por una doble.
La integral doble (superficie S) es la superficie cerrada de la tapa del cilindro, la integral triple (volumnen V) es el volumen del cilindro.
En primer lugar se va a mencionar el teorema de green, dada la similitud que tienen los dos teoremas. en la ecuación planteada se muestra la definición general para este teorema.
F: función original dS: diferencial de superficie frontera
n: vector unitario divF: derivada de la función.
C: curva frontera dA: diferencial de área.
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| tomado de: calculo de varia variables James Stewart séptima edición |
La relación de los teoremas es que se maneja la misma idea conceptual pero el teorema de green esta orientado a superficies(planos) y el de divergencia a las tres dimensiones (volumen).
Se ha establecido la relación entre una integral superficial y una integral triple sobre la región solida E, en la cual la superficie S hace el papel de frontera para la función de estudio F. el teorema de divergencia, relacional la derivada de una función denominado (divF) en una región con la integral de la función original.
Sea E una región solida simple y S la superficie frontera de E. definida con orientación positiva (hacia afuera).Sea F un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene E en tal caso se tiene:
F: función original dS: diferencial de superficie frontera
n: vector unitario divF: derivada de la función.
dV: diferencial de volumen .
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| tomado de: calculo de varia variables James Stewart séptima edición |
EJEMPLO Nº1
Determine el flujo del campo vectorial (F(x,y,z) = Z i+ Y j + X k ) sobre la esfera unitaria (x^2+y^2+z^2=1).
Calcular la divergencia de la función F:
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| tomado de: calculo de varia variables James Stewart séptima edición |
Como la esfera (x^2+y^2+z^2=1) se ha definido como frontera S, entonces el teorema de divergencia queda planteado de la siguiente manera:
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| tomado de: calculo de varia variables James Stewart séptima edición |
tenemos el volumen de una esfera de radio r= 1,
EJEMPLO Nº2
Evalue:
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| tomado de: calculo de varia variables James Stewart séptima edición |
 | ||
| tomado de: calculo de varia variables James Stewart séptima edición
Se aplica el teorema de divergencia para transformar una integral de superficie, cuando me dan una integral triple, se parametriza E es términos de una región limitada por puntos fijos, de la siguiente forma:
por lo tanto:
 EJEMPLO Nº3
Hallar el flujo del campo A = x ^2 I + y^2 J + z^2 K a través de la superficie
(z = 1 − ((x ^2 + y
2)^1/2)), si (0 ≤ z ≤ 1).
a) Directamente.
b) Aplicando el teorema de Gauss o divergencia.
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Calcular el flujo del campo vectorial A = 4xz I + xyz J + 3z a través de la cara exterior de la superficie S : x ^2 + y ^2 = z ^2 (0 ≤ z ≤ 4).
a) Directamente.
b) Aplicando el teorema de Gauss
EJEMPLO Nº5
Sea F (x, y, z) = (y, z, xz).
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